Xét một bức xạ điện từ đơn sắc có biến đổi theo thời gian được viết bởi e − i ω t {\displaystyle e^{-i\omega t}} trong biểu diễn phức của sóng. Công thức sau cho thấy mối liên hệ giữa hệ số hấp thụ và độ điện thẩm ϵ ( ω ) {\displaystyle \epsilon (\omega )} :

Re ⁡ { ϵ ( ω ) } = ϵ 0 + 2 π ⋅ P ∫ 0 ∞ Ω Im ⁡ { ϵ ( Ω ) } Ω 2 − ω 2 d Ω {\displaystyle \operatorname {Re} \{\epsilon (\omega )\}=\epsilon _{0}+{\frac {2}{\pi }}\cdot {\mathcal {P}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\Omega \operatorname {Im} \{\epsilon (\Omega )\}}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}\,\mathrm {d} \Omega } Im ⁡ { ϵ ( ω ) } = 2 ω π ⋅ P ∫ 0 ∞ Re ⁡ { ϵ ( Ω ) } − ϵ 0 Ω 2 − ω 2 d Ω {\displaystyle \operatorname {Im} \{\epsilon (\omega )\}={\frac {2\omega }{\pi }}\cdot {\mathcal {P}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} \{\epsilon (\Omega )\}-\epsilon _{0}}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}\,\mathrm {d} \Omega }

Các tích phân ở trên là tích phân Cauchy và P {\displaystyle {\mathcal {P}}} là giá trị Cauchy chính.

Biểu diễn theo hệ số hấp thụ α, chiết suất n và tốc độ ánh sáng trong chân không c:

n ( ω ) = 1 + c π ⋅ P ∫ 0 ∞ α ( Ω ) Ω 2 − ω 2 d Ω {\displaystyle n(\omega )=1+{c \over \pi }\cdot {\mathcal {P}}\int \limits _{0}^{\infty }{{\alpha (\Omega )} \over {\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}\,\mathrm {d} \Omega }

Điều kiện để f ( ω ) {\displaystyle f(\omega )} thỏa mãn liên hệ Kramers-Kronig là nó phải lài biến đổi Fourier của một tiến trình vật lý tuyến tính và có tính nhân quả. Nếu viết

f ( ω ) = f 1 ( ω ) + i f 2 ( ω ) {\displaystyle f(\omega )=f_{1}(\omega )+if_{2}(\omega )} ,

với f 1 {\displaystyle f_{1}} và f 2 {\displaystyle f_{2}} là các hàm giải tích thực, liên hệ Kramers-Kronig sẽ là

f 1 ( ω ) = 2 π P ∫ 0 ∞ ω ′ f 2 ( ω ′ ) d ω ′ ω ′ 2 − ω 2 {\displaystyle f_{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}P\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega 'f_{2}(\omega ')d\omega '}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}} f 2 ( ω ) = − 2 ω π P ∫ 0 ∞ f 1 ( ω ′ ) d ω ′ ω ′ 2 − ω 2 {\displaystyle f_{2}(\omega )=-{\frac {2\omega }{\pi }}P\int _{0}^{\infty }{\frac {f_{1}(\omega ')d\omega '}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}} ,

Liên hệ Kramers-Kronig có quan hệ với biến đổi Hilbert, và thường được áp dụng cho độ điện thẩm ϵ ( ω ) {\displaystyle \epsilon (\omega )} của vật liệu. Chú ý là

f ( ω ) = χ ( ω ) = ϵ ( ω ) / ϵ 0 − 1 {\displaystyle f(\omega )=\chi (\omega )=\epsilon (\omega )/\epsilon _{0}-1} ,

với χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} là độ cảm điện môi của vật liệu. Độ cảm điện môi có thể được coi là biến đổi Fourier của sự biến đổi theo thời gian của véctơ phân cực trong vật liệu sau khi bị tác động của một xung điện trường.